วันเสาร์ที่ 14 ธันวาคม พ.ศ. 2556

เซต

ในคณิตศาสตร์ คู่อันดับ (a, b) เป็นคู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดย a เรียกว่า
 สมาชิกตัวหน้า และ b เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง คู่อันดับอาจจะมองเป็นพิกัดก็ได้
 สำหรับคู่อันดับนั้น อันดับมีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (a, b) แตกต่างจากคู่อันดับ 
(b, a) ยกเว้นกรณีที่ a = b ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {a, b} 
เท่ากับคู่ไม่อันดับ {b, a}
คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับ
สามารถมีสมาชิกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับ
ด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น 
สามสิ่งอันดับ (a,b,c) สามารถนิยามโดย (a, (b,c)) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อยๆ
ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ทวิภาค (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับ
ได้ด้วยเช่นเดียวกัน

เนื้อหา

  [ซ่อน] 

หลักโดยทั่วไป[แก้]

กำหนดคู่อันดับ (a_1, b_1) และ (a_2, b_2) เป็นคู่อันดับใด ๆ คุณสมบัติของคู่อันดับคือ
(a_1, b_1) = (a_2, b_2) ก็ต่อเมื่อ a_1 = a_2 และ b_1 = b_2.\!
เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต X และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต
 Y เรียกว่าผลคูณคาทีเซียนของ X และ Y หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า X×Y 
ซึ่งความสัมพันธ์ทวิภาคจากเซต X ไปเซต Yใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ X×Y
ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนช่วงเปิดบนเส้นจำนวน 
ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ \left \langle a,b\right \rangle แทน (a, b) ตามปกติได้

การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต[แก้]

เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ 
ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย[1] โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบ
ในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต

นิยามของ Wiener[แก้]

Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914[2]
\left( a, b \right) := \left\{\left\{ \left\{a\right\},\, \emptyset \right\},\, \left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.
เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย
Wiener ใช้ {{b}} แทนที่ {b} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนด
ว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ \{\{b\}\} 
เป็นประเภทเดียวกันกับ \{\{a\}, \emptyset\}

นิยามของ Hausdorff[แก้]

ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff
 ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน
(a, b) := \left\{ \{a, 1\}, \{b, 2\} \right\}
โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b[3]

นิยามของ Kuratowski[แก้]

ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย[4] ว่า
(a, \ b)_K \ := \ \{ \{ a \}, \ \{ a, \ b \} \}.
มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน
(x,\ x)_K = \{\{x\},\{x, \ x\}\} = \{\{x\},\ \{x\}\} = \{\{x\}\}
เมื่อกำหนดคู่อันดับ p การทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหน้าของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ
\forall{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y}.
ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหลังของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ
(\exist{Y}{\in}{p}:{x}{\in}{Y})\and(\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\or{x}{\notin}{Y_{2}})).
สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิดตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย
 เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct) (\forall{Y_{1},Y_{2}}{\in}{p}:Y_{1}\ne Y_{2}\rarr ({x}{\notin}{Y_{1}}\or{x}{\notin}{Y_{2}})) 
จะเป็นจริงเสมอจากการที่ Y1 ≠ Y2 ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่า
มีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่ หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ
 p สามารถหาได้จาก
\pi_1(p) = \bigcup\bigcap p
และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก
\pi_2(p) = \bigcup\{x \in \bigcup p \mid \bigcup p \not= \bigcap p \rarr x \notin \bigcap p \}

เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)